% -------------------------------------------------- %
%  EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM                     %
%  INFORMATIKAI KAR ~ PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS     %
%  Bevezetés a matematikába (2)                      %
%  2004/2005                                         %
% .................................................. %
%  Authors: Reviczky Ádám János                      %
% -------------------------------------------------- %

VIZSGAKÉRDÉSEK 16-17-18

# DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
01. Mikor mondjuk azt, hogy két gráf nem izomorf?
    A G=(φ,E,V) és G'=(φ',E',V') gráfok nem izomorfak, ha nincs olyan az E-t E'-re képező kölcsönösen egyértelmű f és a V-t V'-re képező kölcsönösen egyértelmű g leképezés, hogy minden e∈E-re és v∈V-re e pontosan akkor illeszkedik v-re, ha f(e) illeszkedik g(v)-re.
02. Fogalmazza meg, hogy hogyan kaphatunk sétából utat.
    Bármely G gráfban a különböző v és v' csúcsokat összekötő sétából alkalmasan törölve ei,vi párokat, a v-t v'-vel összekötő utat kaphatunk.
03. Adja meg egy véges gráf vágásainak számát.
    Egy G=(φ,E,V) véges összefüggő gráfban létezik legalább ♮(V)-1 különböző vágás.
04. Definiálja a szigorúan párhuzamos éleket.
    Irányított gráfoknál ha az e1≠e2 éleknek ugyanaz a kezdőpontja és a végpontja, akkor szigorúan párhuzamos élekről beszélünk.
05. Definiálja az erős összefüggőség és az erős komponens fogalmát.
    Egy irányított gráfot erősen összefüggőnek nevezünk, ha bármely (v,v') csúcspár esetén vezet irányított séta v-ből v'-be.
    Nyilván egy adott gráf csúcsaira az a reláció, hogy az egyikből a másikba és a másikból az egyikbe is vezet irányított út, ekvivalencia reláció a csúcsok halmazán, így meghatároz egy osztályozást.
    A csúcsok egy adott osztálya által meghatározott telített irányított részgráf az irányított gráf egy erős komponense.
06. Mit értünk monomorfizmus, epimorfizmus illetve izomorfizmus alatt?
    Ha a φ homomorfizmus kölcsönösen egyértelmű (injektív), akkor monomorfizmusnak, ha pedig G'-re képez (szürjektív), akkor egy G'-re való epimorfizmusnak nevezzük.
    Ha φ kölcsönösen egyértelmű és G'-re képez (bijektív), akkor azt mondjuk, hogy φ izomorfizmus G és G' között.
07. Definiálja a generátorelem és a generátorrendszer fogalmát.
    Legyen G egy csoport, és K⊂G. A K halmaz 〈K〉 generátuma a G összes, K-t tartalmazó részcsoportjának metszete.
    Ha G=〈K〉, akkor azt mondjuk, hogy K a G csoport generátorrendszere.
    Ha egy csoportnak létezik egyelemű generátorrendszere, akkor ciklikusnak nevezzük, az elemet pedig egy generátorának.
08. Adjon szükséges és elégséges feltételt arra, hogy egy részcsoportnak nem létezik nem triviális normálosztója.
    Természetesen Abel-csoportban minden részcsoport normálosztó.
    Nyilván az egész G és a csak az egységelemet tartalmazó egyelemű részhalmaz normálosztók, ezek a triviális normálosztók.
    A G-től különböző normálosztókat valódi normálosztónak nevezzük.
09. Fogalmazza meg a véges Abel-csoport alaptételét.
    Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek egyértelműen meghatározottak.
10. Definiálja a gyűrű karakterisztikáját. Milyen állítást használt?
    Úgy a gyűrűknél, mint a testeknél is fontos jellemző az elemek additív rendje, amely bizonyos feltételek teljesülése esetén minden nem nulla elemnél megegyezik.
    Tétel: Egy nullosztómentes R gyűrűben a nemnulla elemek additív rendje megegyezik, ami vagy végtelen, vagy prímszám.
11. Adjon meg négy különböző részgyűrűt ℝ^ℝ-gyűrűnek.
    Az ℝ^ℝ függvénygyűrűben részgyűrűt alkotnak például a korlátos függvények, a folytonos függvények, a korlátos folytonos függvények, a polinomfüggvények, stb..
12. Mi a különbség az euklideszi gyűrűben a prímelem és irreducibilis elem között?
    Egy előző tételünk szerint test feletti egyhatározatlanú polinomok euklideszi gyűrűt alkotnak, így bennük a prímelem és az irreducibilis elem fogalma egybeesik, és minden nem nulla polinom irreducibilis polinomok szorzatára bomlik, lényegében egyértelműen.
    Az egységek a nem nulla konstans polinomok. Bármely test felett az elsőfokú polinomok irreducibilisek.
13. Definiálja a polinom helyettesítési értékét és gyökét.
    A polinomok definíciójánál használt jelölésekkel egy f=f0+f1x+⋯+fnxⁿ polinomnak az r∈R helyen felvett helyettesítési értékén az f(r)=f0+f1r+⋯+fnrⁿ ∈R elemet értjük.
    Ha f helyettesítési értéke az r helyen nulla, akkor azt mondjuk, hogy r az f gyöke.
14. Definiálja az irreducibilis polinomot egy komplex számtest feletti polinommal.
    A komplex számtest felett az algebra alaptétele szerint minden ℂ[x]-beli nem konstans polinomnak van gyöke, így a gyöktényező leválasztására vonatkozó állítás szerint pontosan az elsőfokú polinomok az irreducibilisek, és egy n-ed fokú f0+f1x+⋯+fnxⁿ polinomot a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen felírhatunk fn(x-c1)^α1(x-c2)^α2⋯(x-ck)^αk gyöktényezős alakban, ahol a különböző c1,c2,…,ck komplex számok a különböző gyökök, az α1,α2,…,αk pozitív természetes számok pedig az egyes gyökök multiplicitásai, α1+α2+⋯+αk=n.
15. Hogyan azonosíthatjuk a gyűrű elemeit bizonyos többhatározatlanú polinomokkal? Hogy hívjuk ezeket a polinomokat?
    Legyen R gyűrű, n∈ℕ. Az R feletti n-határozatlanú polinomok gyűrűjét n szerinti indukcióval definiáljuk.
    Az a∈R elemhez hozzárendelve azt az f polinomot, amelyre f0,0,…,0=a és fi1,i2,…,in=0 egyébként, az R egy olyan leképezését kapjuk a polinomok gyűrűjébe, amely nyilván monomorfizmus, értékkészletének elemei a konstans polinomok, ezeket R elemeivel azonosíthatjuk.
