% ================================================== %
% | Eötvös Loránd Tudományegyetem                  | %
% | Informatikai Kar                               | %
% |  Programtervező matematikus                    | %
% |  Nappali tagozat                               | %
% -------------------------------------------------- %
% | Bevezetés a matematikába                       | %
% | [I] első év                                    | %
% | [II] második szemeszter (tavaszi)              | %
% | 2004/2005 tanév                                | %
% -------------------------------------------------- %
%  VERSION:  1.0                                     %
%  AUTHOR:   Reviczky Ádám János                     %
% ================================================== %

[VIZSGATEMATIKA]
# Vizsgatételek

Vizsgatételek
- - - - - - - - - -
 1. Irányítatlan gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak. Gráfok izomorfiája. Teljes gráfok, páros gráfok, részgráfok.
 2. Séták, utak és körök. Séta helyettesítése úttal, zárt séta felbontása körökre. Összefüggőség, fák, szükséges és elégséges feltételek arra, hogy egy gráf fa legyen.
 3. Feszítőfa, létezése, körök száma, vágás, vágások száma. Erdők. Euler-séta, felbontás éldiszjunkt sétákra. Hamilton-út, Hamilton-kör. Súlyozott gráfok, Kruskal algoritmusa.
 4. Irányított gráfok: alapfogalmak, példák, irányított gráfok izomorfiája. Irányított részgráf, irányított séták, utak és körök. Erős összefüggőség. Irányított fák.
 5. Gráfok rajzolhatósága. Rajzolás térbe, gömbfelületre és síkba. Tartományok, Euler tétele. Gráfok mátrixai.
 6. Morfizmusok (homomorfizmus, stb.) és kapcsolatuk tulajdonságokkal. A csoporttulajdonság ekvivalensei. Példák csoportokra.
 7. Részcsoport, a definíció ekvivalensei. Generált részcsoport és előállítása. Ciklikus csoportok szerkezete. Csoport és elem rendje. Ciklikus csoportok részcsoportjai.
 8. Mellékosztályok. Lagrange tétele és következményei. Normálosztó, ekvivalens megfogalmazások. Belső automorfizmusok. A művelettel kompatibilis osztályozás generálása. Faktorcsoport, példák. Homomorfizmus magja, homomorfizmus-tétel. Direkt szorzat. A véges Abel-csoportok alaptétele.
 9. Cayley tétele. Permutációcsoportok, permutációk párossága. Normállánc, egyszerű csoport, feloldhatóság.
10. Gyűrűk morfizmusai. Gyűrű karakterisztikája. Részgyűrű, ideál, példák. Mellékosztályok, az osztályozás kompatibilitása a műveletekkel, faktorgyűrű. Példák. Homomorfizmus magja, homomorfizmustétel.
11. Generált főideálok szerkezete, oszthatóság és ideálok. Gauss-gyűrűk. Euklideszi-gyűrűk, egységek és asszociáltak, bővített euklideszi algoritmus, felbonthatatlan és prímelem, egyértelmű faktorizáció euklideszi gyűrűkben. Hányadostest.
12. Polinomok, polinomfüggvények, maradékos osztás és következményei.
13. Polinom algebrai deriváltja. Többszörös gyökök. Irreducibilis polinomok ℂ, ℝ, ℚ és ℤ felett. Gauss tétele.
14. Racionális törtfüggvények. Parciális törtekre bontás. Többhatározatlanú polinomok.
