% -------------------------------------------------- %
%  EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM                     %
%  INFORMATIKAI KAR ~ PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS     %
%  Bevezetés a matematikába (1)                      %
%  2003/2004                                         %
% .................................................. %
%  Authors: Reviczky Ádám János                      %
% -------------------------------------------------- %

VIZSGATEMATIKA

# A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI
          - a kijelentéskalkulus
          - kijelentések és igazságértékük
          - kijelentések összekapcsolása
  [Tétel] - a kijelentékalkulus tételei
          - a predikátumkalkulus
  [Tétel] - a pedikátumkalkulus tételei
         - axiómák és a bizonyítások formái
# HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK
  [Definíció] - halmaz és elemei
  [Definíció] - halmazok egyenlősége
  [Definíció] - üres halmaz
  [Definíció] - részhalmaz
  [Definíció] - hatványhalmaz
## HALMAZMŰVELETEK
  [Definíció] - különbség, metszet, unió
  [Tétel] - az unió és a metszet tulajdonságai, De Morgan szabályok
  [Definíció] - osztályfelbontás
  [Definíció] - rendezett pár
  [Definíció] - Descartes-féle direkt szorzat
  [Definíció] - n-változós reláció, binér reláció, homogén reláció
  [Definíció] - binér és homogén binér relációk tulajdonságai
  [Definíció] - reláció kiterjesztése, leszűkítése
  [Definíció] - ekvivalenciareláció
  [Definíció] - ekvivalenciaosztály
  [Definíció] - hányadoshalmaz, reprezentáns, teljes reprezentáns-rendszer
  [Tétel bizonyítással] - ekvivalenciareláció és ostályfelbontás kapcsolata
  [Definíció] - relációk kompozíciója
  [Tétel bizonyítással] - relációszorzat asszociatív
  [Definíció] - reláció inverze
  [Definíció] - függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet, függvény képe, inverze
## FÜGGVÉNYEK TÍPUSAI
  [Definíció] - szürjektív, injektív, bijektív függvény
## SPECIÁLIS FÜGGVÉNYEK
  [Definíció] - konstans függvény, leszűkítés, kiterjesztés
## FÜGGVÉNYEK KOMPOZÍCIÓJA, INVERZE
  [Tétel] - függvény inverze mikor függvény
  [Tétel] - függvények műveletei halmazokkal
  [Definíció] - n-változós függvény
# STRUKTÚRÁK
## ALGEBRAI STRUKTÚRÁK
  [Definíció] - belső összekapcsolás, több elem összekapcsolása
  [Definíció] - struktúra asszociatív
  [Definíció] - félcsoport
  [Definíció] - semleges elem
  [Definíció] - monoid
  [Definíció] - inverz elem
  [Definíció] - csoport
  [Definíció] - Abel-csoport
## KÉTMŰVELETES STRUKTÚRÁK
  [Definíció] - disztributivitás
  [Definíció] - gyűrű, nullelem, egységelem
  [Definíció] - kommutatív gyűrű
  [Definíció] - nullosztómentes gyűrű
  [Definíció] - integritási tartomány
  [Definíció] - test
  [Definíció] - külső összekapcsolás
  [Definíció] - Ω-modulus
  [Definíció] - vektortér
## RENDEZÉSI STRUKTÚRÁK
  [Definíció] - részbenrendezés
  [Definíció] - szigurú részbenrendezés
  [Definíció] - diagonális reláció
  [Tétel bizonyítással] - részbenrendezés és szigorú részbenrendezés kapcsolata
  [Definíció] - részbenrendezett struktúra, rendezési diagram
  [Definíció] - monoton, szigorúan monoton függvények
  [Definíció] - indukált részbenrendezés
  [Definíció] - minimális elem, legkisebb elem
  [Definíció] - maximális elem, legnagyobb elem
  [Definíció] - alsó korlát, felső korlát
  [Definíció] - alsó határ, felső határ
  [Definíció] - zárt, nyílt intervallum
  [Definíció] - teljes rendezés
  [Definíció] - lánc
  [Definíció] - jólrendezés
  [Tétel] - jólrendezési tétel
  [Definíció] - induktív halmaz
  [Tétel] - Zorn-lemma, transzfinit indukció
## VEGYES STRUKTÚRÁK
  [Definíció] - rendezett integritási tartomány
  [Definíció] - rendezett test
## SZÁRMAZTATOTT STRUKTÚRÁK
  - alstruktúra, szorzatstruktúra, faktorstruktúra
  - lexikografikus rendezés
## POLINOMOK
  [Definíció] - egységelemes gyűrű feletti egyhatározatlanú polinom
  [Definíció] - polinom gyöke, zérushelye, foka
# A SZÁMFOGALOM FELÉPÍTÉSE
## TERMÉSZETES SZÁMOK
  [Definíció] - Peano-axiómák
  [Definíció] - rákövetkezési reláció
  [Tétel] - rekurziótétel
## MŰVELETEK
  [Definíció] - összeadás
  [Tétel bizonyítással] - az összeadás asszociativitása, kommutativitása
  [Definíció] - a természetes számok rendezése
  [Tétel bizonyítással] - monotonia tétele, egyszerűsítési szabály
  [Definíció] - szorzás
  [Tétel] - a szorzás szabályai
  [Tétel] - disztributivitás
  [Definíció] - sorozat
  [Definíció] - összeg, tag, szorzat, tényező
## EGÉSZEK
  [Definíció] - izomorfikus beágyazás
  [Definíció] - egész számok konstrukciója
  [Definíció] - műveletek egész számokkal
  [Tétel bizonyítással] - az egészek integritási tartományt alkotnak
  [Definíció] - egészek rendezése
  [Definíció] - abszolútérték
  [Tétel bizonyítással] - számolási szabályok
  [Tétel] - az egészek rendezett integritási tartományt alkotnak
## RACIONÁLIS SZÁMOK
  [Definíció] - Konstrukció
  [Definíció] - műveletek racionális számokkal
  [Tétel bizonyítással] - a racionális számok testet alkotnak
  [Definíció] - a racionális számok rendezése
  [Definíció] - arkhimédeszi tulajdonság
  [Tétel] - a racionális számok arkhimédeszi tulajdonságú rendezett testet alkotnak
## VALÓS SZÁMOK
  - Konstrukció nyílt kezdettel
  [Definíció] - felső határ tulajdonságú rendezett test
  [Definíció] - nyílt kezdet
  [Definíció] - irracionális számok
  [Definíció] - valós számok rendezése
  [Tétel] - a valós számok minden felülről korlátos részhalmazának van felső határa
  [Definíció] - műveletek valós számokkal
  - Konstrukció intervallumskatulyázással
  - valós számok előállítása
  - alsó-felső egészrész, törtrész, tizedes tört
  [Definíció] - hatványozás, gyökvonás
## KOMPLEX SZÁMOK
  [Definíció] - konstrukció
  [Definíció] - műveletek
  - szemléltetésük
  [Definíció] - abszolútérték
  [Definíció] - konjugált
  [Definíció] - valós, képzetes rész
  [Tétel] - műveletek komplex számokkal
  [Definíció] - argumentum
  [Tétel bizonyítással] - Moivre-azonosság
  [Definíció] - komplex szám n-edik gyöke
  [Definíció] - n-edik egységgyökök
  [Definíció] - primitív n-edik egységgyökök
  [Tétel bizonyítással] - egységgyökök előállítása
  [Tétel bizonyítással] - n-edik egységgyökök összege
  [Tétel] - algebra alaptétele
  - a komplex számok rendezési tulajdonsága
## ALGEBRAI, TRANSZCENDENS SZÁMOK
  [Definíció] - algebrai szám
  [Definíció] - transzcendens szám
  [Definíció] - kvaterniók
# KOMBINATORIKA
  [Definíció] - permutáció
  [Tétel bizonyítással] - véges halmaz ismétlés nélküli permutációi száma
  - Stirling-formula, ciklikus permutálás
  [Definíció] - variáció
  [Tétel bizonyítással] - n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációi száma
  [Definíció] - kombináció
  [Tétel bizonyítással] - n elemű halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációi száma
  [Definíció] - ismétléses variáció
  [Tétel bizonyítással] - n elem k-ad osztályú ismétléses variációi száma
  [Definíció] - ismétléses kombináció
  [Tétel bizonyítással] - az ismétléses kombinációk száma
  [Definíció] - ismétléses permutáció
  [Tétel bizonyítással] - az ismétléses permutációk száma
  [Tétel bizonyítással] - binomiális tétel és következményei
  [Tétel bizonyítással] - polinomiális tétel
  [Tétel] - skatulya-elv
  [Tétel bizonyítással] - logikai szita formula
## SPECIÁLIS SZÁMOK
  [Definíció] - a Fibonacci-számok
  [Tétel bizonyítással] - a Fibonacci-sorozat n-edik tagja, aranymetszés
  [Definíció] - szubfaktoriális
  [Tétel bizonyítással] - a szubfaktoriális sorozat n-edik tagja
  [Definíció] - a Pascal-háromszög
  [Tétel bizonyítással] - a binomiális együtthatók néhány tulajdonsága
# ELEMI SZÁMELMÉLET
## ÁLTALÁNOS ALAPFOGALMAK
  [Definíció] - osztó
  [Tétel bizonyítással] - az oszthatóság tulajdonságai
  [Definíció] - egység
  [Tétel bizonyítással] - egy szám és egységszerese oszthatósági tulajdonságai
  [Definíció] - asszociáltság
  [Definíció] - triviális osztók
  [Definíció] - felbonthatatlan szám
  [Definíció] - összetett szám
  [Definíció] - prímszám
  [Tétel bizonyítással] - minden prím felbonthatatlan
  [Definíció] - legnagyobb közös osztó
  [Definíció] - relatív prímek
  [Definíció] - páronként relatív prímek
  [Definíció] - legkisebb közös többszörös
## OSZTHATÓSÁG AZ EGÉSZEK KÖRÉBEN
  [Tétel bizonyítással] - az egészek körében két egység van
  [Tétel bizonyítással] - maradékos osztás
  [Tétel bizonyítással] - számrendszerek
  [Tétel bizonyítással] - legnagyobb közös osztó létezése
  [Tétel bizonyítással] - c>0, akkor (ca,cb)=c(a,b)
  [Tétel bizonyítással] - a legnagyobb közös osztó kifejezése a számok lineáris kombinációiként
  [Tétel bizonyítással] - lineáris diofantikus egyenletek megoldhatósága
  [Tétel bizonyítással] - c|(a,b) és (c,a)=1, akkor c|b
  [Tétel bizonyítással] - egész szám pontosan akkor prím, ha felbonthatatlan
  [Tétel bizonyítással] - számelmélet alaptétele
  [Tétel bizonyítással] - a kanonikus alak formulája
  [Definíció] - módosított kanonikus alak
  [Tétel bizonyítással] - kanonikus alakban adott szám pozitív osztói, pozitív osztói száma
  [Tétel bizonyítással] - legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös kifejezése a kanonikus alakok segítségével
  [Tétel bizonyítással] - a számelmélet alaptétele és a kanonikus alak következményei
  [Tétel bizonyítással] - a prímek száma végtelen
  [Tétel bizonyítással] - létezik tetszőleges hosszú csupa összetett számot tartalmazó intervallum
  [Tétel] - prímszámtétel
  [Tétel bizonyítással] - erathoszteneszi szita
  [Tétel] - Dirichlet-tétel
  - Goldbach-sejtés
  - Fermat és Mersenne-prímek
  [Definíció] - kongruencia
  [Tétel] - a kongruencia tulajdonságai
  [Tétel bizonyítással] - kongruencia egyszerűsítése és ennek következménye
  [Definíció] - maradékosztály
  [Definíció] - teljes maradékrendszer
  [Tétel bizonyítással] - a≡b (m) ⇒ (a,m)=(b,m)
  [Definíció] - redukált maradékosztály, redukált maradékrendszer
  [Definíció] - Euler-féle φ függvény
  [Tétel] - teljes és redukált maradékrendszer tulajdonságai
  [Tétel bizonyítással] - teljes és redukált maradékrendszer lineáris transzformációi
  [Tétel bizonyítással] - Euler-Fermat-tétel és következményei
## MŰVELETEK KONGRUENCIÁKKAL
  [Tétel bizonyítással] - a modulo m maradékosztályok egységelemes kommutatív gyűrűt alkotnak
  [Definíció] - multiplikatív inverz
  [Tétel bizonyítással] - redukált maradékosztályok és multiplikatív inverz kapcsolata
  [Tétel] - modulo m maradékosztály pontosan akkor test, ha m prím
## LINEÁRIS KONGRUENCIÁK
  [Definíció] - lineáris kongruencia megoldásszáma
  [Tétel bizonyítással] - az ax≡b (m) lineáris kongruencia megoldhatósága és megoldásszáma
  [Tétel bizonyítással] - az ax≡b (m) (a,m)=1 konguencia megoldása
## SZIMULTÁN KONGRUENCIÁK
  [Tétel bizonyítással] - kínai maradéktétel és következményei
## SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEK
  [Definíció] - additív, teljesen additív, multiplikatív és teljesen multiplikatív számelméleti függvények
  [Definíció] - Möbius-függvény
  [Tétel bizonyítással] - Euler-féle φ-függvény multiplikatív
